關於萊布尼茨與白晉就二進制的討論，大體形成兩種意見。一種是白晉寄給萊布尼茨邵雍的六十四卦方圓圖，致使受其啟發，發明二進制;另一種認為，萊布尼茨獨立發明二進制，六十四卦圖排列恰好符合二進制而已。就這個問題仔細梳理一番，得肇跡於白晉與萊布尼茨的最初通信。

1698年第萊布尼茨在維尼烏斯的通信中提到白晉給他介紹了中國古老的符號，正是《周易》。萊布尼茨說:“自青年時代起，我就想著創建一種新的文字，使它不僅能像中文那樣表意，還能對許多我們現在還只能作模糊推理的東西作精確計算。”表明萊布尼茨對二進制的設計絕非一時之衝動，而是從年輕時起就有初步的想法。

1700年11月18號白晉給萊布尼茨的通信中第一次提出，通過對伏羲八卦圖的研究，他認為:“《易經》是中國最古老的一部著作，或許也是世界上最古老的。它是中國所有科學和傳統的真正來源。在萊布尼茨在接到白晉1700年11月18日的信後，1701年2月15日給白晉回了信，在這封信中萊布尼茨第一次明確提出了二進制，並詳細向白晉介紹了二進制的基本運算方法:我不知道過去給您的信裡有沒有提過一種我新發明的算術法則，不是用於普通計算，而是用於科學理論的建立，因為它給新定理的確立提供了廣闊空間，特別是這種計算方法出色地體現了基督教的創世說。根據這套方法，所有數字都寫成是單位1和0的結合體，很像一切的創造物都只是來自上帝與虛無。數學裡沒有什麼能比這個能更完美地為宗教服務，並證實基督教裡最重要問題中的一個，而這些問題都是非基督教哲學慣於異口同聲否定的。我們也有理由說:一切精華就好像數字，而一切事物的缺陷由否定構成，因此聖奧古斯丁說得好:醜惡來自虛無。

首先，因為十進制只使用10個字符計數，即從0到9，那麼二進制就只使用兩個，即0和1。既然十進制裡，10表示十，100表示一百，1000表示一千，10000表示一萬，100000表示十萬，1000000表示一百萬，以此類推;那麼我認為二進制裡，10是二，100是四，1000是八，10000是十六，100000是三十二，1000000是六十四，以此類推。這就是假如我們只使用兩個字符0和1時計算產生的結果，因為1+1相當於10，而3是10+1=11，4是11+1=100。因為1+1相當於10，也就是說，第一位上為0，進一位到第二位上是1，進位用圓點表示。第二位上仍是1+1需進位，於是第二位上為0，第三位上是1，這樣寫出來是100，就像我用標記在邊上空白處註解的一樣，圓點表示進位。同理可得出:5就是100+1=101，6是101+1=110，7是110+1，即111，8是111+1即1000，以此類推。用標記的表格列舉了從0到32各數字的表示法，每一數位前的空白處填滿了小o以便表現我馬上會談到的循環數節。初看這張表格會發現它有著奇妙的和諧，每一數位都有規則的循環數節，第一位上是01，出現的是010101……，總是0與1交替出現，第二位上是0011重複出現，第三位上是00001111，第四位上是0000000011111111，以此類推。因此我們可以不用計算就可以將表格接著補充寫下去。

這樣組成數字的規則為一種從未有人想過的嶄新科學開啟了大門。因為既然將所有數字都分解為0和1是最為完美和透徹的方法，我們自然可以通過這一方法深入進一步研究。此外，我還發現3、5、7的倍數，即可被3、5、7除盡的數也有無限循環的數節，比方說3的倍數，第一位上的循環數節是01，第二位是0110，第三位上是00101101，第四位上是0001110011100011，以此類推，這些都可以從表格中看到。5、7、9等的倍數也一樣，而且一般在倍數里前一半的循環數節與後一半正好相反，即0對1或者倒過來1對0。此外，平方數、立方數及其他乘方數都有這樣的循環數節，比方說平方數，第一位上的數節是01，第二位上是0，第三位上是0010，第四位上是00010100，第五位上是0000110101011000。立方數第一位上是01，第二位上是0001，第三位上是00000101，其他的以此類推。這樣一來，通過這一奇妙的方法，最高次冪的表格也能不用計算就寫出來，除了用於思考，應該還可以將它派上更大的用場。簡言之，這其中蘊藏著一門嶄新的算術，奇妙地孕育在各種定理之中，因為無論在哪一系列之下，數字的表現總是有規律的。它完全不是用來做普通的正確計算的，而是用來解決我們熟知的其他方法無法解答的問題。這方面我就不贅言了，結束這一話題之前，我再補充一個有趣的發現，這樣大家就能一下子明白為什麼所有數字都能在雙幾何進制或二進制下通過唯一的組合加以表現，這也是算術家們發現的該進制的一個優越性。比方說:23是16+4+2+1，也就是10000+10+10+1或直接等於10111;113是64+32+16+1，也就是1000000+100000+10000+1，即1110001，其他的以此類推;正是依照同樣的道理，貨幣的鑑定師們才使用幾何級數的砝碼，這樣，少量的砝碼就足以稱量大量沉重的錢幣。比方說要組成1至63這些數目，我們只需要6個數字或6個砝碼，即1，2，4，8，16，32。要組成1至31只需5個，即1，2，4，8，16。（這在計算機裡廣泛運用，儲存方便）

這說明至少在1701年2月萊布尼茨的二進制已經十分成熟了。儘管萊布尼茨說中國古代《易經》六十四卦演算就是二進制算術:“這種算術是這位偉大的創造者所掌握而在幾千年之後由我發現的。但這隻能說是萊布尼茨對中國古代文化的一個猜想。把邵雍的八卦圖說成就是二進制，從而說二進制是國人所發明的，這顯然目前從中國數學史上得不到證實。

這點，筆者贊成孫小禮教授的以下觀點:萊布尼茨的上述猜想，正是一個至今未能得到證實的猜想。為在易圖中雖然有與0和1相對應的符號:陰爻一一和陽爻一;雖然有與從0到63的二進制數相對應的六十四個六爻排列。但是迄今為止，在《周易》中或在中國的其他古籍中，並未看到用陰爻和陽爻這兩個符號寫出一切數字的明確規則。有人誤以為六爻排列就是中國的二進制記數法，其實，與數字64的二進制表示式1000000相對應，就必須是七爻排列;與數字128的二進制表示式10000000相對應，就必須是八爻排列……再者，在中國的古籍中，從未看到用陰爻和陽爻來進行數學運算，如加、減、乘、除四則運算等，因而也看不出陰爻和陽爻具有0和1在數學運算中的功能，如0加某數仍等於某數，乘某數則等於.1乘某數仍等於某數等.然而在萊布尼茨1679年的論文稿中，用0和1兩個記號寫出一切數的規則和進行四則運算的規則，都已敘述得十分清楚.相比之下，說中國古代已有二進制算術，只能是萊布尼茨的一個至今不能被證實的猜想。

通過我們對白晉與萊布尼茨通信的研究，還原了兩人通信的歷史細節。白晉與萊布尼茨的通信與交往是中國和歐洲之間文化交流史上最精彩的篇章。白晉作為中國和歐洲之間的文化擺渡人，推動了萊布尼茨對中國的認識。兩人的合作推動了歐洲早期漢學的發展。白晉的《康熙皇帝傳》因萊布尼茨而在歐洲產生了更大的影響;而萊布尼茨與白晉為代表的來華耶穌會士的交往，催生了德國曆史上第一本漢學著作《中國近事》的出版。白晉的《易經》研究顯然影響了萊布尼茨，雖然不能說萊布尼茨的二進制是在看了白晉的通信後才形成的，但白晉的通信無疑使萊布尼茨最終定下了修改自己的論文並再次提交關於二進制論文的決定。這是一個交錯的文化史，萊布尼茨功不可沒，但中國文化的影響亦不可抹。

萊布尼茨和白晉關於二進制與《易經》的討論[J].中國哲學史,2020(06):5-14.